Последняя активность злата

Ответ: N-1. Занумеруем цвета числами от 0 до 2. N-й гном, видя всех кроме себя, складывает числа, соответствующие цветам видимых им колпаков, и называет цвет, соответствующий остатку от деления полученной им суммы на 3. N-1-й гном слышит ответ N-го и видит всех гномов кроме себя и N-го. Он так же может сложить числа, соответствующие видимым им колпакам и взять остаток от деления на три. Разность между ответом N-го и этим числом будет соответствовать цвету колпака на N-1-м гноме, что дает ему возможность правильно назвать свой цвет. Аналогично действует N-2-й гном, учитывая два предыдущих ответа. Таким образом, все гномы кроме N-го гарантированно узнают свой цвет. Заметим, что N-й гном не может узнать свой цвет, поскольку его колпак ни кто не видит.