Бочка меда и половник дегтя

Question

У нас есть бочка дегтя и бочка меда. Сначала мы берем половник дегтя и добавляем в мед, потом идеально перемешиваем. Потом берем половник из бочки с медом и добавляем ее в бочку с дегтем. Идеально перемешиваем. Чего теперь больше: меда в бочке с дегтем, или дегтя в бочке с медом?

Answer 1

Мне почему-то кажется что одинаково, но испорчен и мед и деготь)

Comments

Доказательство в студию! :)

---

Я же написал - мне кажется. Причина у меня не математическая, а логическая. Я ничего не считал по объемам. Просто удаленная из дегтя часть размешаная в меде распределилась пропорционально. Соответственно, взятая часть меда содержит то количество дегтя в пропорции, которое заменит его нехватку в бочке с дегтем

---

Но смысл от этого не меняется. Испорчен мед. Печалька :-(

Answer 2

Похоже, в меде дегтя больше, чем в дегте меда.

При добавлении дегтя в мед концентрация меда упала. А при добавлении дегтярного меда в деготь мы добавляем в деготь чуточку дегтя из меда, в котором он был перемешан.

Comments

Не верно :)

Я все жду математического решения :)

Answer 3

Вот математическое решение. Левая колонка- мед, правая - деготь. 1я строка - имеем бочку меда М и бочку дегтя Д. 2я строка -  в бочке дегтя дегтя меньше на один половник П, соответственно в бочке меда дегтя  больше на один половник (+ПД). В 3й строке перебрасывем половник получившейся смеси в бочку с дегтем:

М	Д
М+ПД	Д-ПД
М+ПД-П(М+ПД)= М+ПД-ПМ-П2Д	Д-ПД+П(М+ПД)=Д-ПД+ПМ+П2Д
Дегтя: ПД-П2Д	Меда:   ПМ

Получается, что в бочке с медом находится дегтя находится П-П² , а в бочке дегтя меда целый половник П. Т.к. П больше чем П-П² , делаем вывод, что меда в бочке с дегтем больше, чем дегтя в бочке с медом!

Comments

П - это объем половника, то есть константа, а в ваших расчетах ПД < П(М+ПД). Несостыковка! Половник всегда зачерпывает одинаковое количество жидкости!

В целом, ход мыслей правильный, нужно только учесть, что П - не переменная.

---

Ну да. Такая глупая ошибка!

Вот если разложить по числам, получается, что по ровну будет. Но как это показать математически не знаю. Или не по ровну?

Answer 4

Все дело в том, что объем половника - величина постоянная. Поэтому в ходе переливаний из одной бочки в другую мы все время берем столько же меда, сколько отдали дегтя и наоборот. В итоге независимо от количества переливаний и перемешиваний меда в бочке с дегтем столько же, сколько и дегтя в бочке меда.

З.Ы. Забыл добавить, что переливаний должно быть четное количество :)

Comments

Вы правы, но я все же подожду математических обоснований.

---

Представим количество взятого дегтя как D = Vпол, где Vпол - объем половника. Так как его объем - константа, то когда мы зачерпнем им из бочки с медом, в нем окажется смесь из d дегтя и m меда, причем D = d + m. Следовательно в бочке с медом осталось D - d дегтя, что в свою очередь равно количеству меда m, которое мы поместили в бочку с дегтем. Объем самих бочек можно не учитывать, при условии, что они обе должны быть больше половника.

Норм? :s

---

Что я не очень понимаю. Подскажу - прими объем бочек за 100 литров а объем половника за литр. тогда все будет в разы понятнее :)

---

1) Забираем половником из бочки с дегтем 1 литр и переливаем его в бочку с медом. Теперь в первой - 99 литров, во второй - 101 литр.

2) Забираем из бочки с медом 1 литр смеси и переливаем в бочку с дегтем. Вообще концентрация дегтя в половнике может быть разной, но, так как перемешали идеально, она должна быть примерно 1,01%, т.е. 0,0101л. дегтя и 0,9899л. меда (как и во второй бочке). Теперь в обоих бочках снова по 100 литров вещества.

3) Так как объем половника постоянный, и после второго переливания мы вернули в бочку с дегтем 0,0101л. из 1л. дегтя, который забрали в п.1, то в бочке с медом осталось 1л. - 0,0101л. = 0,9899л. дегтя, что равно количеству меда, которое мы добавили в первую бочку в п.2.

Другими словами, в ходе переливаний мы просто заменили в бочке с дегтем 0,9899л. дегтя на 0,9899л. меда и наоборот. Я сам уже запутался :D

Answer 5

Доказать с цифрами это пол дела. А сможет ли кто-нибудь показать ответ в переменных -  так чтобы можно было поставить любые значения объемов половника и бочки иполучить верное утверждение?

Comments

 

Допустим, что объем бочки = V, а половник в n раз меньше и равен V/n

Берем из бочки с дегтем V/n дегтя и переливаем в мед. Теперь там V+V/n жидкости причем отношение дегтя к меду будет равно V/n / (V+V/n) и V/(V+V/n)

 

Таким образом, мы знаем, что в половнике будет  V/n / (V+V/n) * V/n дегтя и  V / (V+V/n) * V/n меда

 

После этого в бочке с дегтем будет V - V/n + V/n / (V+V/n) * V/n дегтя и V / (V+V/n) * V/n меда

 

а в бочке с медом останется V - V / (V+V/n) * V/n меда и V/n - V/n / (V+V/n) * V/n дегтя

 

Можешь подставлять числа :)

---

Огого! Круто!!

---

Нет, ну с одинаковыми то бочками любой сможет.. А вот если объем бочек разный? :>

---

Ага, еще скажи объем половников разный :) И неизвестно где какая жидкость :P